تكملة المفاهيم الأساسية

من Arab MM*Stat
اذهب إلى: تصفح، ابحث

الفرضية الصفرية صحيحة :


دعنا نختبر أولا طبيعة القرار الصحيح والخاطئ الناتج باعطاء الفرضية الصفرية H_{0} الصحيحة.

يحسب الاختبار الاحصائي باستعمال العينة المشاهدة والتي لا تبتعد كثيرا عن قيمة العنصر المفروض \vartheta_{0} .

وفي الواقع , أن نطاق الاختبارات الاحصائية للتقدير المعقول لهذه الانحرافات في عبارات ذات دلالة

نقدر اذا الانحراف كبير من الناحية الاحصائية , ولكن نفرض للحظة أن الانحراف كبير في الاختبار الاحصائي

تقع قيم v في مجال الرفض , بالتالي تخلق قاعدة القرار لأجل الاختبار , ستكون الفرضية الصفرية مرفوضة

لكن لا يؤثر قرارانا على عملية توليد البيانات الصحيحة . وبالتالي عملنا الخطأ الذي توقعنا عمله مع الاحتمال \alpha (عندما فرضنا الصفرية صحيحة).

يشار لهذا الخطأ بالخطأ من النوع الأول أو خطأ \alpha, نضع الاحتمال \alpha


P\left( H_{1}|H_{0}\right)=\alpha


كعنصر , مستوى الدلالة , بالرغم اختلاف مستوى الدلالة \alpha , لا نستطيع منع حدوث الخطأ من النوع الأول (الذي سيحدث مع الاحتمال \alpha )

نضع \alpha مساوية للصفر حتى لا نرفض الفرضية الصفرية , ولا نرفض الفرضية الصفرية المعطاة التي تصف الواقع بدقة.

احتمال اتخاذ القرار الصحيح , تكون الفرضية الصفرية صحيحة وتحسب كالتالي:


 P("H_0"|H_0)= 1-\alpha


لا يرفض الاختبار الفرضية الصفرية المعطاة بالرغم أنها صحيحة والتي تساوي 1


الفرضية البديلة صحيحة :


ما هو القرار الصحيح والخاطئ الناتج عندما تتضمن الفرضية البديلة العنصر الصحيح .

اذا حسب الاختبار الاحصائي من العينة المشاهدة والتي لها انحراف صغير عن قيمة العنصر \vartheta_{0} , المفروض في الفرضية الصفرية .

ستسبب قاعدة القرار عدم رفض الفرضية الصفرية H_{0}, لدينا الأن الافتراض: H_{1} صحيحة بالرغم معرفتنا لها خاطئة

("H_{0}" |H_{1})

هذه النتيجة (عدم رفض الفرضية الصفرية الخاطئة ) ويعرف ذلك بخطأ النوع الثاني أو خطأ \beta

كما في حالة الوضع المسمى : خطأ \alpha لايمكننا استبعاد خطأ \beta


P\left(H_{0}|H_{1}\right)=\beta \left(\vartheta _{1}\right)


وهذا يحدث مع الاحتمال الذي يعطي الفرضية البديلة صحيحة وتصف الواقع.

نلاحظ تعتمد \beta على قيمة العنصر الصحيح \vartheta_{1} وهذا لا يكشف لنا و لا نستطيع حساب هذا الاحتمال.

بالطبع , احتمال قاعدة القرار تسبب لنا عمل القرار الصحيح بمعنى نرفض H_{0} عندما الفرضية البديلة صحيحة, الاحتمال الشرطي لحدوث هذا:


P\left(H_{1}|H_{1}\right)=1-\beta \left(\vartheta_{1}\right)


يعتمد الاحتمال \beta(\vartheta_{1}) لعمل الخطأ من النوع الثاني على مستوى الدلالة \alpha المعطاة , نقصان \alpha , لأجل حجم العينة الثابت n

سينتج الاحتمال المتزايد لأجل خطأ \beta والعكس بالعكس , وهذا الخطأ لا يمكن التغلب عليه. توضح هذه المشكلة في الشكلين البيانين:


S2 50 4.gif


رفض H_{0}| عدم رفض H_{0}


S2 50 5.gif


رفض H_{0}|عدم رفض H_{0}


كما ذكرنا سابقا , يعتمد احتمال حدوث خطأ النوع الثاني أيضا على القيمة الصحيحة للعنصر المختبر باعطاء حجم العينة الثابت n ومستولى الدلالة \alpha, يتعلق البعد بين \vartheta_{1} و \vartheta_{0} العكسي الى \beta(\vartheta_{1})

كبر هذا البعد و صغر احتمال حدوث خطأ النوع الثاني عندما الفرضية البديلة صحيحة. يظهر الشكلين التاليين الاختبار الاحصائي V وله التوزيع الطبيعي


S2 50 6.gif


رفض H_{0}|عدم رفض H_{0}


S2 50 7.gif


رفض H_{0}|عدم رفض H_{0}



H100.gif قوة الاختبار


احتمال رفض الفرضية الصفرية كتابع لكل قيم العنصر الممكنة (ذلك يعني للفرضيات الصفرية والبديلة ) تدعى بقوة الاختبار ويشار له G(\vartheta) :


G(\vartheta) = P\left(V\mbox{ is element of the rejection region for }H_{0}\;|\;\vartheta \right) =P\left(H_{1}|\vartheta \right)


عنصر مجال الرفض لأجل

اذا العنصر الصحيح \vartheta هو عنصر المجموعة الثانوية لفضاء العنصر في الفرضية البديلة

يعمل القرار الصحيح ("H_{1}" | H_{1}) , حينئذ لأجل كل قيم العنصر الصحيح \vartheta التي توافق مع الفرضية البديلة

تقيس قوة الاختبار احتمال الرفض الصحيح للفرضية الصفرية (وبالتوالي : عدم الرفض الصحيح للفرضية البديلة )


G(\vartheta) = P\left( H_{1}|H_{1}\right) = 1-\beta\left( \vartheta \right)\quad

حيث  \vartheta_{1} المجموعة الثانوية لفضاء العنصر (فضاء العنصر هو مجموعة كل العناصر  \vartheta ) محددة بواسطة الفرضية البديلة.

اذا العنصر الصحيح يساوي  \vartheta_{0}, مجموعة القيم تحت الفرضية الصفرية , يعيد قوة الاختبار احتمال عمل القرار الخاطئ.

بمعنى احتمال الموقف ("H_{1}"|H_{0}). , أي احتمال عمل خطأ النوع الأول أو خطأ \alpha


G(\vartheta) = P\left( H_{1}|H_{1}\right) = 1-\beta\left( \vartheta \right)\quad für alle \vartheta Element von  \vartheta_{1}


حيث  \vartheta_{0} المجموعة الثانوية لفضاء العنصر المحدد بواسطة الفرضية الصفرية.


H100.gif منحنى OC


خاصية التشغيل (منحنى OC ) مساوية الى 1 - G(\vartheta) وهو يزود احتمال عدم رفض الفرضية الصفرية كتابع لكل \vartheta الممكنة.


1 - G(\vartheta)=P(\mbox{V is element of the non-rejection region for }H_{0}|\vartheta)= P({H}_{0}|\vartheta)


اذا العنصر الصحيح \vartheta هو عنصر من المجموعة الثانوية لفضاء العنصر المتعلق مع الفرضية البديلة

تعين خاصة التشغيل احتمال عمل القرار الخاطئ ("H_{0}" | H_{1}) ذلك يعني , احتمال عمل خطأ النوع الثاني:


1 - G(\vartheta) = P(H_{0}|H_{1}) = \beta (\vartheta)\mbox{  } \vartheta \mbox{   } \theta_{1}


حيث  \vartheta_{1} , المجموعة الثانوية للعناصر المحددة بواسطة الفرضية البديلة .

ومن جهة أخرى , العنصر الصحيح في المجموعة الثانوية للقيم المحددة بواسطة الفرضية الصفرية , تقيس خاصة التشغيل احتمال الموقف ("H_{0}"|H_{0}).

بمعنى : عمل القرار الصحيح بعدم رفض الفرضية الصفرية :


1 - G(\vartheta) = P(H_{0}|H_{0})\geq 1 - \alpha\mbox{  } \vartheta \mbox{ } \theta_{0}


حيث  \vartheta_{0} مجموعة عناصر الفرضية الصفرية .

يعتمد شكل المنحنى البياني لخاصة التشغيل على :

  • الاختبار الاحصائي وتوزيعه
  • مستوى الدلالة المعطاة \alpha
  • وحجم العينة n