تكملة المفاهيم الأساسية

From Arab MM*Stat

الفرضية الصفرية صحيحة :


دعنا نختبر أولا طبيعة القرار الصحيح والخاطئ الناتج باعطاء الفرضية الصفرية H0 الصحيحة.

يحسب الاختبار الاحصائي باستعمال العينة المشاهدة والتي لا تبتعد كثيرا عن قيمة العنصر المفروض \vartheta_{0} .

وفي الواقع , أن نطاق الاختبارات الاحصائية للتقدير المعقول لهذه الانحرافات في عبارات ذات دلالة

نقدر اذا الانحراف كبير من الناحية الاحصائية , ولكن نفرض للحظة أن الانحراف كبير في الاختبار الاحصائي

تقع قيم v في مجال الرفض , بالتالي تخلق قاعدة القرار لأجل الاختبار , ستكون الفرضية الصفرية مرفوضة

لكن لا يؤثر قرارانا على عملية توليد البيانات الصحيحة . وبالتالي عملنا الخطأ الذي توقعنا عمله مع الاحتمال α (عندما فرضنا الصفرية صحيحة).

يشار لهذا الخطأ بالخطأ من النوع الأول أو خطأ α, نضع الاحتمال α


P\left( H_{1}|H_{0}\right)=\alpha


كعنصر , مستوى الدلالة , بالرغم اختلاف مستوى الدلالة α , لا نستطيع منع حدوث الخطأ من النوع الأول (الذي سيحدث مع الاحتمال α )

نضع α مساوية للصفر حتى لا نرفض الفرضية الصفرية , ولا نرفض الفرضية الصفرية المعطاة التي تصف الواقع بدقة.

احتمال اتخاذ القرار الصحيح , تكون الفرضية الصفرية صحيحة وتحسب كالتالي:


P("H0" | H0) = 1 − α


لا يرفض الاختبار الفرضية الصفرية المعطاة بالرغم أنها صحيحة والتي تساوي 1


الفرضية البديلة صحيحة :


ما هو القرار الصحيح والخاطئ الناتج عندما تتضمن الفرضية البديلة العنصر الصحيح .

اذا حسب الاختبار الاحصائي من العينة المشاهدة والتي لها انحراف صغير عن قيمة العنصر \vartheta_{0} , المفروض في الفرضية الصفرية .

ستسبب قاعدة القرار عدم رفض الفرضية الصفرية H0, لدينا الأن الافتراض: H1 صحيحة بالرغم معرفتنا لها خاطئة

("H0" |H1)

هذه النتيجة (عدم رفض الفرضية الصفرية الخاطئة ) ويعرف ذلك بخطأ النوع الثاني أو خطأ β

كما في حالة الوضع المسمى : خطأ α لايمكننا استبعاد خطأ β


P\left(H_{0}|H_{1}\right)=\beta \left(\vartheta _{1}\right)


وهذا يحدث مع الاحتمال الذي يعطي الفرضية البديلة صحيحة وتصف الواقع.

نلاحظ تعتمد β على قيمة العنصر الصحيح \vartheta_{1} وهذا لا يكشف لنا و لا نستطيع حساب هذا الاحتمال.

بالطبع , احتمال قاعدة القرار تسبب لنا عمل القرار الصحيح بمعنى نرفض H0 عندما الفرضية البديلة صحيحة, الاحتمال الشرطي لحدوث هذا:


P\left(H_{1}|H_{1}\right)=1-\beta \left(\vartheta_{1}\right)


يعتمد الاحتمال \beta(\vartheta_{1}) لعمل الخطأ من النوع الثاني على مستوى الدلالة α المعطاة , نقصان α , لأجل حجم العينة الثابت n

سينتج الاحتمال المتزايد لأجل خطأ β والعكس بالعكس , وهذا الخطأ لا يمكن التغلب عليه. توضح هذه المشكلة في الشكلين البيانين:


صورة:S2_50_4.gif


رفض H0| عدم رفض H0


صورة:S2_50_5.gif


رفض H0|عدم رفض H0


كما ذكرنا سابقا , يعتمد احتمال حدوث خطأ النوع الثاني أيضا على القيمة الصحيحة للعنصر المختبر باعطاء حجم العينة الثابت n ومستولى الدلالة α, يتعلق البعد بين \vartheta_{1} و \vartheta_{0} العكسي الى \beta(\vartheta_{1})

كبر هذا البعد و صغر احتمال حدوث خطأ النوع الثاني عندما الفرضية البديلة صحيحة. يظهر الشكلين التاليين الاختبار الاحصائي V وله التوزيع الطبيعي


صورة:S2_50_6.gif


رفض H0|عدم رفض H0


صورة:S2_50_7.gif


رفض H0|عدم رفض H0



صورة:H100.gif قوة الاختبار


احتمال رفض الفرضية الصفرية كتابع لكل قيم العنصر الممكنة (ذلك يعني للفرضيات الصفرية والبديلة ) تدعى بقوة الاختبار ويشار له G(\vartheta) :


G(\vartheta) = P\left(V\mbox{ is element of the rejection region for }H_{0}\;|\;\vartheta \right) =P\left(H_{1}|\vartheta \right)


عنصر مجال الرفض لأجل

اذا العنصر الصحيح \vartheta هو عنصر المجموعة الثانوية لفضاء العنصر في الفرضية البديلة

يعمل القرار الصحيح ("H1" | H1) , حينئذ لأجل كل قيم العنصر الصحيح \vartheta التي توافق مع الفرضية البديلة

تقيس قوة الاختبار احتمال الرفض الصحيح للفرضية الصفرية (وبالتوالي : عدم الرفض الصحيح للفرضية البديلة )


G(\vartheta) = P\left( H_{1}|H_{1}\right) = 1-\beta\left( \vartheta \right)\quad

حيث \vartheta_{1} المجموعة الثانوية لفضاء العنصر (فضاء العنصر هو مجموعة كل العناصر \vartheta ) محددة بواسطة الفرضية البديلة.

اذا العنصر الصحيح يساوي \vartheta_{0}, مجموعة القيم تحت الفرضية الصفرية , يعيد قوة الاختبار احتمال عمل القرار الخاطئ.

بمعنى احتمال الموقف ("H1"|H0). , أي احتمال عمل خطأ النوع الأول أو خطأ α


G(\vartheta) = P\left( H_{1}|H_{1}\right) = 1-\beta\left( \vartheta \right)\quad für alle \vartheta Element von \vartheta_{1}


حيث \vartheta_{0} المجموعة الثانوية لفضاء العنصر المحدد بواسطة الفرضية الصفرية.


صورة:H100.gif منحنى OC


خاصية التشغيل (منحنى OC ) مساوية الى 1 - G(\vartheta) وهو يزود احتمال عدم رفض الفرضية الصفرية كتابع لكل \vartheta الممكنة.


1 - G(\vartheta)=P(\mbox{V is element of the non-rejection region for }H_{0}|\vartheta)= P({H}_{0}|\vartheta)


اذا العنصر الصحيح \vartheta هو عنصر من المجموعة الثانوية لفضاء العنصر المتعلق مع الفرضية البديلة

تعين خاصة التشغيل احتمال عمل القرار الخاطئ ("H0" | H1) ذلك يعني , احتمال عمل خطأ النوع الثاني:


1 - G(\vartheta) = P(H_{0}|H_{1}) = \beta (\vartheta)\mbox{  } \vartheta \mbox{   } \theta_{1}


حيث \vartheta_{1} , المجموعة الثانوية للعناصر المحددة بواسطة الفرضية البديلة .

ومن جهة أخرى , العنصر الصحيح في المجموعة الثانوية للقيم المحددة بواسطة الفرضية الصفرية , تقيس خاصة التشغيل احتمال الموقف ("H0"|H0).

بمعنى : عمل القرار الصحيح بعدم رفض الفرضية الصفرية :


1 - G(\vartheta) = P(H_{0}|H_{0})\geq 1 - \alpha\mbox{  } \vartheta \mbox{ } \theta_{0}


حيث \vartheta_{0} مجموعة عناصر الفرضية الصفرية .

يعتمد شكل المنحنى البياني لخاصة التشغيل على :

  • الاختبار الاحصائي وتوزيعه
  • مستوى الدلالة المعطاة α
  • وحجم العينة n