Geometrische Verteilung

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Eigenschaften der Geometrischen Verteilung

NameFormel/Wert
SchreibweiseX\sim Ge(p)
AbleitungDie Geometrische Verteilung stellt einen Spezialfall der Negativen Binomialverteilung dar. Sie gibt an, wieviele Ziehungen im Rahmen eines Bernoulli-Experiments nötig sind, bevor das interessierende Ereignis erstmalig auftritt.
Dichtefunktion>f(x)=p(1-p)^x_{} für x=0, 1,2, \ldots
VerteilungsfunktionF(x)=1-(1-p)^{x+1}_{} für x=0, 1,2, \ldots
ErwartungswertE(X)=\frac{1-p}{p}
VarianzVar(X)=\frac{\displaystyle(1-p)}{p^2}
Quantilsfunktion
Moment(e)
Zentrale(s) Moment(e)
Zufallszahlen Z_i\sim U(0;1) für i=1, 2, ...,c und unabhängig
\rightarrow X= 
\sum_{i=1}^{c}\left[\frac{ln(1-Z_i)}{ln(1-p)}\right]_G \sim Nb\left(c;\frac{1-p}{p}\right)=Ps(c;p)
Schätzer (Maximum-Likelihood)\hat{\tilde{p}} und \hat{\Lambda} sind Lösungen von:

\begin{matrix}\hat{\tilde{p}}\hat{\Lambda} &=& \bar{x} \\
 && \\
\ln \left(1+\hat{\tilde{p}}\right)&=& \sum_{j=1}^{\infty}\left(\hat{\Lambda}+j-1\right)^{-1}F_j^* 
\end{matrix}

  • mit F_j^* als Anteil der x_i, bei denen die Realisationen \geq j
  • mit \Lambda=1
Schätzer (Momente)\hat{\tilde{p}}=\frac{s^2}{\bar{x}}-1 und \hat{\Lambda}=\frac{\bar{x}^2}{\left(s^2-\bar{x}\right)}
Bemerkung

Verwandte Verteilungen - siehe auch:

R-Plots

Dichtefunktion, Verteilungsfunktion sowie einige Parameter der Geometrischen Verteilung.

Sie können die Parameter der R-Programme mit Hilfe von bearbeiten (rechts oben) ändern. Evtl. müssen Sie nach Ablauf der Programme den Reload Button in ihrem Browser drücken.

Der Parameter zum Einstellen ist 'p', und 'xmax' für die Dichtefunktion und Verteilungsfunktion.


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