Laplace-Verteilung

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Eigenschaften





NameFormel/Wert
Schreibweise X\sim Lp(a;b)
Ableitung Die Laplace-Verteilung hat die Form zweier aneinandergefügter Exponentialverteilungen. Daher wird sie auch als Doppelexponentialverteilung bezeichnet.
Dichtefunktion  f(x) = \frac{1}{2b}exp \left[ -\frac{\mid x-a \mid}{b}\right]  mit x, a \in \mathbb{R}, b\in\mathbb{R}^+
Verteilungsfunktion  F(x)=\begin{cases} 0,5 \ exp \left(-\frac{a-x}{b}\right) &\mbox{für } x \leq a\\
1-0,5 \ exp\left(-\frac{x-a}{b}\right) &\mbox{für } x\geq 0\end{cases}
Erwartungswert\quad E(X)=\mu=a
Varianz\quad Var(X)=\sigma^2=2b^2
Quantilsfunktion F^{-1}=\begin{cases} a + b \ ln(2\ P) &\mbox{für } x \leq a\\
a-b\ ln\left[2(1-P)\right] &\mbox{für } 0,5\leq P<1\end{cases}
Moment(e)
Zentrale(s) Moment(e)
Zufallszahlen  Z_{1} \sim Re(0;1), Z_{2} \sim Re(0;1) und unabhängig
  \rightarrow X = a+b \ ln \left( Z_{1} \mid Z_{2} \right)
Schätzer (Maximum-Likelihood) \hat{a}=\tilde{x} (Stichprobenmedian); \ \ \hat{b}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\mid x_i-\hat{a}\mid
Schätzer (Momente)
Bemerkung
  •  Y\sim L_P(a;b) \rightarrow X = \frac{\mid Y-a \mid}{b} \sim E_X(1)
X=\mid Y-a \mid \sim E_x \left(\frac{1}{b}\right)
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